Ньютон - О началах механики

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ

Определения

I. Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее. 

Воздуха двойной плотности в двойном объеме вчетверо больше, в тройном - вшестеро. То же относится к снегу или порошкам, когда они уплотняются от сжатия или таяния. Это же относится и ко всякого рода телам, которые в силу каких бы то ни было причин уплотняются. Однако при этом я не принимаю в расчет той среды, если таковая существует, которая свободно проникает в промежутки между частицами. Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса. Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками, произведенными точнейшим образом, как о том сказано ниже.

II. Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе.

Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит, для массы, вдвое большей, при равных скоростях оно двойное, при двойной же скорости - четверное.

III. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения¹.  

Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее.

От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому <врожденная сила> могла бы быть весьма вразумительно названа <силою инерции>. Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление, и как напор. Как сопротивление - поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить свое состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор - телам движущимся. Но движение и покой при обычном их рассмотрении различаются лишь в отношении одного к другому, ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется.

IV. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы². <...>

Поучение

В изложенном выше имелось в виду объяснить, в каком смысле употребляются в дальнейшем менее известные названия. Время, пространство, место и движение составляют понятия общеизвестные. Однако необходимо заметить, что эти понятия обыкновенно относятся к тому, что постигается нашими чувствами. Отсюда происходят некоторые неправильные суждения, для устранения которых необходимо вышеприведенные понятия разделить на абсолютные и относи тельные, истинные и кажущиеся, математические и обыденные.

I. Абсолютное, истинное, математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.

Относительное, кажущееся, или обыденное, время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как-то: час, день, месяц, год. 

II. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным.

Относительное [пространство] есть его мера или какая-либо ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими чувствами по положению его относительно некоторых тел и которое в обыденной жизни принимается за пространство неподвижное: так, например, протяжение пространств подземного воздуха или надземного, определяемых по их положению относительно Земли. По виду и величине абсолютное и относительное пространства одинаковы, но численно не всегда остаются одинаковыми. Так, например, если рассматривать Землю подвижною, то пространство нашего воздуха, которое по отношению к Земле остается всегда одним и тем же, будет составлять то одну часть пространства абсолютного, то другую, смотря по тому, куда воздух перешел, и, следовательно, абсолютное пространство беспрерывно меняется.

III. Место есть часть пространства, занимаемая телом и, по отношению к пространству бывает или абсолютным, или относительным. Я говорю часть пространства, а не положение тела и не объемлющая его поверхность. Для равнообъемных тел места равны, поверхности же от несходства формы тел могут быть и неравными. Положение, правильно выражаясь, не имеет величины, и оно само по себе не есть место, а принадлежащее месту свойство. Движение целого то же самое, что совокупность движений частей его, т. е. перемещение целого из его места то же самое, что совокупность перемещений его частей из их мест. Поэтому место целого то же самое, что совокупность мест его частей, и, следовательно, оно целиком внутри всего тела.

IV. Абсолютное движение есть перемещение тела из одного абсолютного его места в другое, относительное - из относительного в относительное же. Так, на корабле, идущем под парусами, относительное место тела есть та часть корабля, в которой тело находится, например та часть трюма, которая заполнена телом и которая, следовательно, движется вместе с кораблем. Относительный покой есть пребывание тела в той же самой области корабля или в той же самой части его трюма. 

Истинный покой есть пребывание тела в той же самой части того неподвижного пространства, в котором движется корабль со всем в нем находящемся. Таким образом, если бы Земля на самом деле покоилась, то тело, которое по отношению к кораблю находится в покое, двигалось бы в действительности с той абсолютной скоростью, с какой корабль идет относительно Земли. Если же и сама Земля движется, то истинное абсолютное движение тела найдется по истинному движению Земли в неподвижном пространстве и по относительным движениям корабля по отношению к Земле и тела по отношению к кораблю. <...>

Аксиомы или законы движения

Закон I

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движение в продолжение гораздо большего времени.

Закон II

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная - тройное, будут ли они приложены разом все вместе или же по следовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения -тела, бывшему ранее, при противоположности - вычитается, при наклонности - прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее, сообразно величине и направлению каждого из них. 

Закон III

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны. <...>

Следствие I

При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как. его стороны - при раздельных.

Если тело при действии в месте А одной только силы М перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из А в B и если бы при действии в том же месте одной только силы N оно перенеслось бы из А в С, то при действии обеих сил оно перенесется в то же самое время из A в D по диагонали параллелограмма ABCD.

Так как сила N действует по направлению прямой АС, параллельной BD, то, по второму закону, эта сила нисколько не измерит той скорости приближения тела к прямой BD, которая была произведена первой силой. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет линии BD, была ли сила N приложена или нет. На основании такого же рассуждения к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где-либо на прямой CD, следовательно, оно должно быть на их пересечении D. Переходит же оно из А в D прямолинейно на основании закона I.

Следствие II

Отсюда явствует составление силы, направленной по AD, из каких-либо двух [сил] АВ и BD, наклоненных друг к другу, и, наоборот, разложение любой силы, направленной по AD, на наклонные АВ и BD. Как это сложение, так и разложение сил беспрестанно подтверждаются в учении о машинах. <...> 

Следствие III

Количество движения, получаемое при сложении количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и при вычитании, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собой. <...>

Следствие IV

Центр тяжести системы двух или нескольких тел от действия тел друг на друга не изменит ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел [при отсутствии внешних действий и препятствий] или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно. <...>

Следствие V

Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство, или движется равномерно и прямолинейно без вращения. <...> 

Поучение

Пусть шары А и В подвешены на равных и параллельных нитях АС, BD из точек С и D. Опишем из этих точек, как из центров, радиусами BD и АС полуокружности EAF и GBH. Отклонив тело А до точки R дуги EAF и убрав тело В, пускаем А качаться и замечаем ту точку V, до которой оно дойдет после одного полного размаха; тогда RV представляет уменьшение величины размаха от сопротивления воздуха.

Пусть ST есть четвертая часть RV, так расположенная посередине этой дуги, чтобы RS и TV были между собой равны, т. е. чтобы было RS = TV = ³/₂ ST, тогда ST представляет весьма близко влияние сопротивления воздуха при размахе от S до А. Поместим тело В на его место. Если тело А пустить из точки S, то можно без чувствительной погрешности принять, что его скорость при ударе в низшем его положении будет такая же, как если бы оно свободно падало в пустоте из точки Т. Эту скорость можно представить хордой ТА, ибо известно, что скорость маятника в низшей точке его дуги пропорциональна хорде дуги его падения. Пусть после отражения тело А достигает точки s и тело В - точки k. Убрав тело В, определяем положение такой точки v, из которой, если пустить тело А, после полного размаха оно приходит в r. Если принять st = ¹/₄ rv и поместить точки s и t так, чтобы было rs = tv, то хорда tA представит ту скорость, которую имеет тело А после отражения, ибо t будет то истинное и исправленное место, до которого могло бы дойти тело А при отсутствии сопротивления воздуха.

Подобным же образом исправляется и место k и находится та точка l, до которой дошло бы тело В в пустоте. Производя все испытания таким способом, мы как бы производим их в пустоте. Умножив затем массу тела А (если можно так выразиться) на хорду ТА, представляющую его скорость, получим его количество движения в точке А перед самым моментом удара. Затем, умножив на tA, получим его количество движения после отражения. Точно так же надо массу тела В умножить на хорду Вl, чтобы получить его количество движения после отражения. Подобным образом находятся количества движения каждого из двух тел как перед ударом, так и после отражения в том случае, когда они одновременно пускаются из разных мест, после чего и можно сравнивать количества движения между собой и выводить последствия удара и отражения.

Производя таким образом испытания над маятником длиной 10 футов и над массами равными и неравными и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, например 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкой, меньшей 3 дюймов, в измерениях, что при прямом ударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в противоположные стороны, откуда следует, что действие и противодействие между собой равны. Так, например, если тело А ударяло по покоящемуся телу В с количеством движения, равным девяти частям, и, потеряв семь, продолжало движение с двумя, то тело В отскакивало также с количеством движения, равным семи. Когда тела шли друг другу навстречу, например А с количеством движения, равным двенадцати, и В с количеством движения, равным шести, и если после удара А шло в обратную сторону с количеством движения, равным двум, то В шло в обратную сторону с количеством движения, равным восьми, т. е. оба тела, как показывает вычитание, изменяли свое количество движения на четырнадцать частей. В самом деле, если из количества движения А вычесть двенадцать, то останется нуль, по вычитании же еще двух получится количество движения, равное двум, направленное в обратную сторону, также при вычитании четырнадцати из количества движения тела В, равного шести, остается количество движения, равное восьми, направленное в обратную сторону.

То же самое происходит и при движении тел в одну сторону. Пусть, например, тело А идет более быстро и с количеством движения четырнадцать, В - медленнее и с количеством движения, равным пяти. Если после удара А продолжает идти с количеством движения пять, то В пойдет с четырнадцатью, получив девять частей от А.

Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое как сумма количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и как разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не меняется от удара при встрече тел. 

Ошибки в один или два дюйма при измерениях следует приписать трудности произвести их достаточно точно. Была также трудность и в том, чтобы пустить оба тела так, чтобы они одновременно приходили в низшее положение, а также чтобы заметить места s и k, до которых тела поднимались после встречи. Неравномерное распределение плотности и неравномерность строения тел, происходящие от случайных причин, приводит также к погрешностям.

Чтобы опровергнуть возражение против высказанного выше правила, для доказательства которого эти опыты и производились, будто бы оно предполагает, что тела или абсолютно тверды, или вполне упруги, т. е. такие, каких в природе не встречается, добавлю, что описанные опыты удаются как с телами мягкими, так и с жесткими и совершенно не зависят от степени твердости их. Если это правило прилагать к телам не вполне твердым, то необходимо лишь уменьшить скорость отражения сообразно степени упругости тел. <...>

О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ

КНИГА I

Отдел III

О движении тел по эксцентричным коническим сечениям

Предложение XI

Задача VI. Тело обращается по эллипсу: требуется определить закон центростремительной силы, направленной к фокусу эллипса.

Пусть S есть фокус эллипса. Проводим SP, пересекающую диаметр DK в точке Е, а ординату Qv - в точке х, и дополняем параллелограмм QxPR. Тогда окажется, что ЕР равно большой полуоси АС эллипса, ибо если провести из другого фокуса Н прямую HJ параллельно ЕС, то по равенству CS и СН будут равны ES и EL; следовательно,
РЕ = ¹/₂ (PS+ PJ), но так как HJ параллельно PR и углы JPR и HPZ равны, то PJ = РН, сумма же PS + РН = 2АС.
На SP опустим перпендикуляр QT и обозначим параметр эллипса через L так, что L = 2 BC²/AC. Тогда
L* QR : L * Pv = QR : Pv, (1)
но QR = Pх; из подобия же треугольников Pxv и РСЕ следует Рх : Рv = РЕ : PC. Значит, QR:Pv = AC:PC, но
L * Pv : Gv * Pv = L : Gv, (2)
Gv * vP : Qv² = PC² : CD². (3)

При совмещении точек Q и Р будет (лем. VII, след. 2)³
Qx = Qv
и, следовательно, в пределе будет
Qx² : QT² = Qv² : QT² = EP² : PF² = AC² : PF² = CD² : CB²
(лем. XII).

Итак,
Qv² : QT² =AC² : PF² = CD² : CB². (4)

При перемножении пропорций (1), (2), (3) и (4) получится
L * QR : QT² = AC * L * PC² * CD² : PC * Gv * CD² * CB² =
=2CB² * PC² * CD² : PC * Gv * CD² * CB² = 2PC : Gv
следовательно, в пределе при совпадении точек Q и Р
L * QR=QT² (5)

При умножении этого равенства на SP²/QR, получим
(SP² * QT²)/(QR) = L * SP². (6)

Следовательно (предл. VI, след. 1 и 5)⁴, центростремительная сила обратно пропорциональна L * SP², т. е. обратно пропорциональна квадрату расстояния SP. <...>

КНИГА 3

О системе мира

Правила умозаключений в физике⁵

Правило I. Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений.  

По этому поводу философы утверждают, что природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасным утверждать многим то, что может быть сделано меньшим. Природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей.

Правило II. Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы.

Так, например, дыханию людей и животных, падению камней в Европе и в Африке, свету кухонного очага и Солнца, отражению света на Земле и на планетах.

Правило III. Такие свойства тел, которые не могут быть не усилены, ни ослаблены и которые оказываются присущими всем телам, над которыми возможно производить испытания, должны считаться свойствами всех тел вообще.

Свойства тел постигаются не иначе, как испытаниями. Следовательно, за общие свойства надо принимать те, которые постоянно при опытах обнаруживаются и которые, как не подлежащие уменьшению, не могут быть устранены. Понятно, что против ряда опытов не следует измышлять на авось каких-либо бредней, не следует также уклоняться от сходственности в природе, ибо природа всегда и проста и всегда сама с собой согласна. <...>

Правило IV. В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений с помощью индукции, несмотря на возможность противоречащих им предложений, должны приниматься за верные или в точности, или приближенно, пока не обнаружатся такие явления, которыми они еще более уточняются или же окажутся подверженными исключениям.

Так должно поступать, чтобы доводы индукции не уничтожались предположениями. <...>

Предложение VI

Теорема VI. Все тела тяготеют к каждой отдельной планете, и веса тел на всякой планете, при одинаковых расстояниях от ее центра, пропорциональны массам этих планет.

Падение всех тяжелых тел на Землю с одинаковой высоты (исключив неравное замедление, происходящее от ничтожного сопротивления воздуха) совершается за одинаковое время, как это уже наблюдалось другими. Точнейшим же образом это может быть установлено по равенству времен качаний маятников. Я произвел такое испытание для золота, серебра, свинца, стекла, песка, обыкновенной соли, дерева, воды, пшеницы. Я заготовил две круглые деревянные кадочки, равные между собой. Одну из них я заполнил деревом, в другой же я поместил такой же точно груз из золота (насколько смог точно) в центре качаний. Кадочки, подвешенные на равных нитях 11 футов длиной, образовали два маятника, совершенно одинаковых по весу, форме и сопротивлению воздуха. Помещенные рядом, они при равных качаниях шли взад и вперед вместе в продолжение весьма долгого времени. Следовательно, количество вещества (масса) в золоте (по след. 1 и 6 предл. 24 кн. II)⁶ относилось к количеству вещества в дереве, как действие движущей силы на все золото к ее действию на все дерево, т. е. как вес одного к весу другого.

То же самое было и для прочих тел. Для тел одинакового веса разность количеств вещества (масс), даже меньшая одной тысячной доли полной массы, могла бы быть с ясностью обнаружена этими опытами.

Конечно, не может быть сомнения, что природа тяжести на других планетах такова же, как и на Земле. В самом деле, вообразим, что земные тела подняты до орбиты Луны и пущены вместе с Луною, также лишенной всякого движения, падать на Землю. На основании уже доказанного несомненно, что в одинаковые времена они пройдут одинаковые с Луною пространства, ибо их массы так относятся к массе Луны, как их веса к весу ее. <...>

Предложение VII

Теорема VII. Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них.  

Выше доказано, что все планеты тяготеют друг к другу, а также что тяготение к каждой из них в отдельности обратно пропорционально квадратам расстояний от места до центра этой планеты. Отсюда следует (по предл. LXIX и его следствиям кн. I⁷), что тяготение ко всем планетам пропорционально количеству материи в них. 

Кроме того, так как все части какой-либо планеты А тяготеют к какой-либо другой планете В и тяготение каждой части относится к тяготению целого, как масса этой части к массе целого, всякому же действию (по закону III движения) есть равное противодействие, то и обратно: планета В притягивается ко всем частям планеты А, и притяжение ее к какой-либо части относится к притяжению к целому, как масса этой части к массе целого.

Следствие 1. Следовательно, тяготение ко всей планете происходит и слагается из тяготений к отдельным ее частям. <...> 

Следствие 2. Тяготение к отдельным равным частицам тел обратно пропорционально квадратам расстояний мест до частиц (по след. 3 предл. LXXIV кн. 1)⁸.

Предложение VIII

Теорема VII. Если вещество двух шаров, тяготеющих друг к другу, в равных удалениях от их центров однородно, то притяжение каждого шара другим обратно пропорционально квадрату расстояния между центрами их.  

После того как я нашел, что тяготение ко всей планете происходит и слагается из тяготений к частицам ее и для каждой из них обратно пропорционально квадрату расстояния до этой частицы, у меня возникло сомнение, будет ли эта обратная пропорциональность квадратам расстояний для всей силы притяжения, слагающейся из частных, выполняться в точности или лишь приближенно. Ибо могло бы быть, что пропорция, которая имеет место для больших расстояний, достаточно точна, близ же поверхности планеты, вследствие неравенства расстояний между частицами и различного их расположения, может оказаться заметно неверной. Однако впоследствии, по предложениям LXXV и LXXI кн. I⁹, я убедился в справедливости высказанного здесь предложения. <...>

Общее поучение

<...> До сих пор я изъяснял небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая не пропорциональна поверхности частиц, на которые она действует (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорциональна количеству твердого вещества, причем ее действие распространяется повсюду на огромные расстояния, меняясь обратно пропорционально квадратам расстояний. Тяготение к Солнцу составляется из тяготения к отдельным частицам его и при удалении от Солнца убывает в точности пропорционально квадратам расстояний даже до орбиты Сатурна, что следует из покоя афелиев планет, и даже до крайних афелиев комет, если только эти афелии находятся в покое. Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезой, гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам не место в экспериментальной философии.

В такой философии предложения выводятся из явлений и обобщаются с помощью индукции. Так были изучены непроницаемость, подвижность и напор тел, законы движения и тяготения. Довольно того, что тяготение на самом деле существует, действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря. <...>

КОММЕНТАРИЙ:

Перевод с латинского "Математических начал натуральной философии" И. Ньютона выполнен А. Н. Крыловым. (Первое издание: Newfon I. Philosophia naturalis principia mathematica. Londoni, 1687.) Отрывки воспроизводятся по изданию: Собрание трудов академика А.Н.Крылова, Т. VII, М,-Л., 1936.

¹ С одной стороны, очевидно, что здесь Ньютон говорит о важнейшем свойстве тел - инертности, и, следовательно, это определение отражает реальность. С другой стороны, в этом месте Ньютон приписывает всем телам "врожденную" силу инерции, существующую независимо от системы отсчета. Такой взгляд в дальнейшем не был принят физиками. Это свидетельствует о сложности процесса формирования основных понятий механики.

² В следующих определениях (V-VIII) Ньютон дает классификацию сил, которая не прижилась в физике и представляет лишь исторический интерес.

³ Здесь Ньютон ссылается на математическую лемму утверждающую, что "предельное отношение (т. е, отношение при стремлении величин к нулю) дуги, хорды и касательной друг к другу равно единице".

⁴ Речь идет об одной из теорем, касающихся центростремительной силы.

⁵ В оригинале заглавие звучит как "Regulae philosophandi", т. е. "правила философствования".

⁶ Указанное предложение звучит так: "Массы маятников, у которых расстояния центра качания до центра подвеса одинаковы, относятся между собою, как произведение весов маятников на кваддраты времен их размахов в пустоте".

⁷ Указанное предложение сформулировано Ньютоном так: "В системе многих тел А, В, С, D и т.д., если какое-либо тело А притягивает все прочие с ускорительными силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний до этого притягивающего тела, если также и второе тело В притягивает все прочие тела А, С, D и т.д. с силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний до этого притягивающего тела, то абсолютные силы притягивающих тел А и В будут относиться друг к другу, как массы соответствующих тел, коим эти силы принадлежат".

⁸ Указанное предположение гласит, что если на частицу, помещенную вне шара, действуют силы, обратно пропорциональные квадратам расстояний до его точек, то данная частица притягивается к шару с силой, обратно пропорциональной квадрату ее расстояния до центра шара,

⁹ В предложении XXV речь идет о взаимодействии двух шаров, частицы которых взаимодействуют по закону обратных квадратов, а в предложении XXI -о притяжении частицы к сфере.