Гюйгенс - О проблемах механики

О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПОД ВЛИЯНИЕМ УДАРА

Гипотеза I. Тело, приведенное в движение, при отсутствии противодействия продолжает свое движение неизменно с той же скоростью и по прямой линии.

Гипотеза II. Не входя в рассмотрение причины отскакивания твердых тел¹ после соударения, принимаем следующее положение:

Если два одинаковых тела, движущихся с одинаковой скоростью навстречу друг другу, сталкиваются прямым ударом, то каждое из них отскакивает назад с той же скоростью, с какой ударилось².

Удар называется прямым, если само движение и соприкосновение происходит по прямой линии, соединяющей центры тяжести тел.

Гипотеза III. Движение тел, а также их одинаковые или разные скорости надо рассматривать как относительные по отношению к другим телам, которые мы считаем покоящимися, не учитывая того, что как те, так и другие тела могут участвовать в другом, общем движении. Поэтому два тела, соударяясь, даже в случае, если оба вместе участвуют еще в другом равномерном движении, для лица, также участвующего в общем движении, действуют друг на друга так, как будто бы этого общего движения не существовало.

Если, например, пассажир корабля, движущегося равномерно, вызовет удар двух равных шаров с одинаковыми, опять - таки по отношению к пассажиру, скоростями, то эти шары отскочат с одинаковыми по отношению к пассажиру и кораблю скоростями, совсем так, как если бы пассажир вызвал удар этих шаров на неподвижном корабле или на берегу³.

Положив такие гипотезы в основу рассмотрения удара равных тел, выведем законы их воздействия друг на друга. В дальнейшем в должном месте, мы введем еще новые гипотезы, которые нам потребуются при рассмотрении соударения неодинаковых тел.

Предложение I. Если с покоящимся телом соударяется одинаковое с ним тело, то ударившееся тело приходит в состояние покоя, а покоящееся тело приходит в движение со скоростью ударившегося о него.

Представим себе, что лодка плывет у берега по течению, и притом так близко к берегу, что пассажир лодки может подать руки человеку, стоящему на берегу. Пусть пассажир лодки держит в своих руках А и В два одинаковых, подвешенных на нитях тела Е и F. Расстояние EF делится пополам в точке G. Пассажир лодки, двигая свои руки навстречу одна другой с одинаковой скоростью по отношению к себе и лодке, вызовет удар шаров, которые затем отскочат один от другого с одинаковыми скоростями относительно пассажира и лодки (по второй гипотезе).

Пусть лодка движется влево со скоростью GE, т. е. с той скоростью, с которой рука А движется вправо. Ясно, что относительно берега и человека, стоящего на берегу, рука А пассажира находится в покое, а рука В с точки зрения того же человека, движется со скоростью FE, удвоенной по сравнению с GE или FG. Представим себе теперь, что человек, стоящий на берегу, схватил своей рукой С руку А пассажира и вместе с тем конец нити, на которой висит шар Е, а другой рукой D - руку пассажира В, держащую нить, на которой подвешен шар F.

Тогда произойдет следующее: в то время как пассажир лодки двигает шары навстречу один другому с одинаковой скоростью (относительно себя и лодки), человек, стоящий на берегу, ударяет по неподвижному шару Е шаром F, движущимся со скоростью FE. Для пассажира лодки, двигающего шары указанным способом, не имеет никакого значения то обстоятельство, что человек на берегу схватил его руки и концы нитей, так как человек на берегу только участвует в движении, но движению не мешает.

По той же причине человеку на берегу, который ударяет шаром F по неподвижному шару Е, не мешает сплетение рук с пассажиром лодки, если только А и С покоятся относительно берега и человека, стоящего на берегу, а руки D и B движутся с одинаковой скоростью FE. Ввиду того что, как сказано, шары Е и F отскакивают с одинаковыми скоростями, а именно: шар Е - со скоростью GE, а шар F - со скоростью GF относительно лодки и пассажира, а сама лодка за это время проплывает влево со скоростью GE или FG, то относительно берега и человека, стоящего на берегу, шар F после удара останавливается, а шар Е, с той же точки зрения, движется влево с двойной скоростью FE, той же самой, с которой человек на берегу двигал шар F к шару Е. Таким образом, мы доказали относительно человека, стоящего на берегу, который ударял по неподвижному шару другим шаром, одинаковым с первым, что первоначально двигающийся шар потерял при ударе все свое движение, а первоначально неподвижный шар приобрел все движение. Это и требовалось доказать. 

Предложение II. Если два одинаковых тела соударяются с разными скоростями, то они при ударе обмениваются скоростями.  

Пусть тело Е движется направо со скоростью ЕН, а одинаковое с ним тело F движется ему навстречу с меньшей скоростью FH. Следовательно, они встретятся в Н. Я утверждаю, что после удара тело Е будет двигаться влево со скоростью FH, а тело F - вправо со скоростью ЕН.

Представим себе человека, стоящего на берегу реки и следующим образом производящего указанные движения тел. Он держит в руках С и D концы нитей, на которых висят тела, и сближает руки со скоростями ЕН и FH, сближая, таким образом, и тела Е и F.

Пусть расстояние EF делится пополам в точке G. Представим себе лодку, движущуюся вправо со скоростью GH, и на лодке человека. По отношению к этому человеку скорость шара Е будет только EG, а скорость шара F будет FG.  

Таким образом, относительно человека в лодке оба шара стремятся к столкновению с равными скоростями. Пусть человек в лодке схватил своими руками А и В руки С и D человека, стоящего на берегу, и вместе с руками - концы нитей [с грузами] . Тогда человек, стоящий на берегу, движет шары навстречу один другому со скоростями ЕН и HF, а человек в лодке - с одинаковыми скоростями EG и FG. Следовательно, с точки зрения человека в лодке оба шара отскочат один от другого с той же скоростью (гипотеза II), а именно: Е отскочит со скоростью GE, а F-со скоростью GF. В то же время лодка движется вправо со скоростью GН. Поэтому относительно берега и человека на берегу F будет иметь скорость ЕН, составленную из GF и GН, а Е - скорость HF, разность GE и GH. Следовательно, относительно человека на берегу, вызывающего соударение шаров Е и F со скоростями ЕН и FH, шар Е после удара отскакивает со скоростью FH, а шар F - со скоростью ЕН, что и требовалось доказать.

Если оба тела движутся вправо и притом Е со скоростью ЕН, а F с меньшей скоростью FH, то тело Е нагонит тело F и они встретятся в Н. Я утверждаю, что после удара F будет продолжать движение со скоростью ЕН, а Е - следовать со скоростью FH. Доказательство подобно вышеприведенному.

Гипотеза IV. Если большее тело соударяется с меньшим, находящимся в покое, то оно сообщает последнему некоторое движение и, следовательно, теряет несколько в своем движении. <...>

Гипотеза V. Если при соударении двух твердых, движущихся навстречу друг другу тел обнаруживается, что одно из них сохранило все движение, то и другое не выигрывает и не теряет ничего в движении.

Предложение IV. Если два тела сталкиваются, то их относительная скорость удаления после удара та же, что и относительная скорость сближения до удара.

Для одинаковых тел это очевидно по теореме II. Пусть тела будут не равны и пусть сначала рассматривается случай, когда на покоящееся большое тело движется меньшее В со скоростью ВА, направленной вправо.

Пусть для пробега ВА телу В потребовалось некоторое время. Я утверждаю, что и после удара через такой же промежуток времени тела будут разделены промежутком ВА. Тело А, несомненно, получит от удара некоторую скорость АС. Эта скорость должна быть меньше, чем ВА, так как только при равенстве А и В тело А приобрело бы скорость ВА (предложение I).

Разделим АС пополам в точке D, и пусть АЕ = AD. Предположим, что наши движения происходят в лодке, движущейся влево со скоростью DA. Тогда ясно, что тело А, с точки зрения наблюдателя на берегу, двигалось до удара влево со скоростью DA, а после удара - вправо со скоростью DC, или AD, так как относительно лодки оно после удара будет двигаться вправо со скоростью АС, а лодка имеет скорость DA, направленную влево.

Таким образом, тело А, с точки зрения наблюдателя на берегу, сохраняет свою скорость до и после удара. Следовательно, и В, согласно гипотезе V, не должно ничего терять в скорости. Но до удара тело В двигалось относительно берега со скоростью BE вправо, так как в лодке В имело скорость ВА вправо, а лодка - скорость DA или АЕ в обратную сторону. Следовательно, и после удара В должно двигаться относительно берега со скоростью BE, но влево. Движению вправо мешает более медленное движение тела А. Так как после удара В движется относительно берега влево со скоростью ЕВ, а А вправо со скоростью AD или ЕА, то оба тела должны удаляться друг от друга со скоростью. составленной из BE и ЕА, т. е. со скоростью ВА. Это будет справедливо не только относительно берега, но и относительно лодки, так как оба тела действительно удаляются друг от друга с этой скоростью. То, что происходит с телами при столкновении в движущейся лодке, будет происходить таким же образом и вне лодки в любом другом месте.

После доказательства разобранного случая легко доказываются и все остальные. Остаются еще четыре возможности: или покоится меньшее тело, или оба тела движутся навстречу одно другому, или меньшее тело следует за большим с большей скоростью, или наоборот.

Все эти случаи можно рассмотреть одновременно. Пусть, как и раньше, тело А больше тела В и движется со скоростью АС; В или находится в покое, или движется со скоростью ВС. Тела, движущиеся таким образом, имеют относительную скорость АВ.

Я утверждаю, что тела после удара разойдутся с той же относительной скоростью АВ.

Предположим опять, что эти движения происходят в лодке, движущейся со скоростью СА, т. е. с той же скоростью, которой обладает тело А, но в обратную сторону. Тогда ясно, что относительно берега А неподвижно, а В во всех случаях столкнется с А со скоростью ВА. А больше В. Таким образом, мы приходим к вышеразобранному случаю, из которого следует, что тела относительно берега должны разойтись со скоростью АВ. Следовательно, и относительно лодки и в действительности они отскакивают одно от другого с этой скоростью. <...>

О ЦЕНТРОБЕЖНОЙ СИЛЕ

<...> Рассмотрим теперь, какое и с какой силой стремление удалиться от центра имеют тела, прикрепленные к вращающейся нити или колесу.

Пусть колесо BG движется в горизонтальной плоскости около центра А. Прикрепленный к ободу шарик, пришедший в B, имеет стремление продолжать свое движение по прямой ВН. касательной к колесу. В этом направлении шарик начал бы двигаться, если бы освободился от колеса. Шарик будет продолжать это движение неизменно, если только он не будет отклонен вниз силой тяжести или же если его движению не воспрепятствует столкновение с другим телом. На первый взгляд трудно понять, почему тогда существует натяжение нити АВ, если тело В стремится двигаться по прямой ВН, перпендикулярной длине нити. Но все объясняется следующим образом. Представим себе это колесо таким большим, чтобы оно легко могло увлечь с собой человека, стоящего на окружности и, конечно, прикрепленного в В так, чтобы его не могло выбросить с колеса. Пусть этот человек держит в руках нить со свинцовым грузом на конце. Благодаря вращению нить будет натянута таким же образом и с одинаковой силой, [независимо от того] будет ли она удерживаться в руке или продолжена до центра А и там закреплена. Причину натяжения нити мы теперь легче поймем. Возьмем равные дуги BE и EF, малые по сравнению с длиной окружности, например в сотую долю окружности или еще меньше. Эти дуги человек на колесе пройдет за одинаковое время. А свинец, если его освободить, за те же промежутки времени прошел бы по касательной равные этим дугам длины ВС и CD. Правда, точки С и D придутся не на продолжение АЕ и AF, а немного правее, ближе к В. Теперь ясно, что свинец, будучи свободен, находился бы в С, когда человек придет в Е, и в D, когда человек придет в F. <...>

Если бы точки С, D лежали на продолжении прямых АЕ и AF, то свинец стремился бы удалиться от человека по линии, идущей от центра через человека, причем в первом промежутке времени он удалился бы на ЕС, во втором - на FD, и т. д. Эти расстояния растут как ряд квадратов начиная с единицы: 1, 4, 9, 16 и т.д.

Поэтому можно считать, что в самом начале движения этих отступлений от ряда не будет. Следовательно, это стремление совершенно подобно тому, которые мы чувствуем, когда держим шарик за нить, так как шарик тоже стремится удалиться в направлении нити таким же ускоренным движением, так что в конце первого промежутка времени тело пройдет малое расстояние 1, в конце второго промежутка 4 таких малых расстояния, в конце третьего - 9 малых расстояний, и т. д. <...>

Достаточно, чтобы эта прогрессия осуществлялась в самом начале движения по кривой. Потом шар может двигаться по какому угодно другому закону, что не имеет отношения к стремлению, существующему до начала движения. Указанное стремление совершенно сходно с тем стремлением, с каким подвешенные тела стремятся двигаться вниз.

Отсюда мы заключаем, что центробежные силы разных тел, движущихся по одинаковым кругам с одинаковой скоростью, относятся друг к другу, как веса тел или как количества материи. Как все весомые тела стремятся падать вниз с одинаковой скоростью и одинаковым ускоренным движением, и притом это стремление обладает тем большей силой, чем они больше, так должно быть и с теми телами, которые стремятся удалиться от центра, так как их стремление подобно тому, которое происходит от тяготения. Но в то время как стремление падать у одного и того же шара всегда одно и то же, всякий раз, когда он подвешен на нити, центробежное стремление разное в зависимости от скорости вращения. Остается еще исследовать величину стремления в зависимости от скорости. Сначала мы определим, с какой скоростью надо вращать колесо, чтобы натяжение нити шаром было такое же, какое получается при подвешивании того же шара на нити.

Предложение I. Если два одинаковых тела описывают в одинаковое время неодинаковые окружности, то отношение центробежной силы на большем круге к центробежной силе на меньшем равно отношению диаметров или длин окружностей.

Даны две окружности с радиусами АВ, АС, по которым в одинаковое время совершают оборот два одинаковых тела. Возьмем на двух окружностях две очень маленькие подобные дуги BD и СЕ. Отложим на касательных, проведенных в B и С, отрезки BF и СG, равные соответственно BD и СЕ. Тело, вращающееся на круге BD, имеет стремление удалиться от центра в направлении продолжения радиуса равномерно ускоренным движением и при этом движении в определенный промежуток времени пройти путь DF. В свою очередь, тело, вращающееся по дуге СЕ, имеет также стремление удалиться от центра и так, чтобы за то же время пройти путь DF. Таким образом, во сколько раз отрезок DF больше отрезка EG, во столько раз натяжение нити у большой окружности больше, чем у малой. Ясно, что FD : GE = BF : СG, т. е. как АВ : АС. Следовательно, центробежная сила на большей окружности во столько раз больше центробежной силы на меньшей окружности, во сколько длина окружности или диаметр большего круга больше диаметра или длины окружности меньшего круга.

Предложение II. Если два равных тела вращаются на одинаковых дугах или колесах с разными скоростями, но оба с равномерным движением, то сила удаления от центра у более быстрого тела относится к силе более медленного, как квадраты их скоростей. Это значит: если протянуть нити от центра вниз и подвесить гири, как раз уравновешивающие центробежную силу, то эти гири будут относиться друг к другу, как квадраты скоростей.

По кругу с центром А и радиусом АВ вращаются два одинаковых тела, сначала одно с большей скоростью, потом другое с меньшей скоростью. Скорости представлены отрезками О и N.

Возьмем две очень маленькие дуги, BE и BF, такие, что BE : BF = N : О, тогда несомненно, что более медленное тело пройдет дугу BE, в то время как более быстрое пройдет дугу BF. Отложим на касательной BD отрезок ВС, равный BE, и отрезок BD, равный BF. Итак, установлено, что каждое из двух тел имеет стремление удалиться от центра ускоренным движением и притом так, что более медленное тело стремится удалиться от окружности на расстояние ЕС и более быстрое в то же время - на FD. Более быстрое тело тянет с большей силой, чем тело более медленное, в отношении DF : ЕС. Так как мы взяли очень малые дуги, то отношение DE : ЕС равно отношению DB² : СВ², как мы раньше разъяснили. Но DB : ВС = FB : BE = О : N, следовательно, FD : ЕС = O² : N² и в таком же отношении находятся центробежные силы более быстрого и более медленного тела, что и требовалось доказать. <...>

КОММЕНТАРИЙ:

Переводы с латинского работ X. Гюйгенса "О движении тел под влиянием удара" и "О центробежной силе" выполнены К. К. Баумгартом по первому посмертному изданию сочинений ученого, вышедшему в Лейдене в 1703 г. Переводы отрывков из этих работ воспроизводятся по изданию: Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М., 1951.

¹ Гюйгенс пишет "corpus durum" - твердое тело. Прилагательное "durum" в отличие от "solidum" означает не только твердое, но и жесткое, так сказать, абсолютно твердое. Удар твердых тел представляет большие трудности для рассмотрения. Гюйгенс разбирает в сущности удары абсолютно упругих тел.

² Здесь Гюйгенс имеет в виду величину скорости, не учитывая ее знака. Это замечание надо принимать во внимание при многих формулировках Гюйгенса.

³ В своих оценках Гюйгенс пользуется результатами работы О. Ремера.